独立事件 (Indenpent Event)

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已知 \(A\) 与 \(B\) 为样本空间中的两个事件,

若 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\),则称 \(A\) 事件与 \(B\) 为独立事件;
若 \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\),则称 \(A\) 事件与 \(B\) 为相关事件。

另一种解释独立事件的方式为当 \(B\) 事件的发生并不影响事件 \(A\) 发生的机率,
即 \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = P\left( A \right) \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right) \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\)。

若已知事件 \(A\) 与 \(B\) 为独立事件,则

证明:

(1) \(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B’} \right) &= P\left( A \right) – P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) – P\left( A \right)P\left( B \right) \\&= P\left( A \right) \cdot \left( {1 – P\left( B \right)} \right) = P\left( A \right)P\left( {B’} \right)\end{array}\),得证。参阅图一。

独立事件 (Indenpent Event)

图一

(2) 的证明与(1)相同。

(3) \(\begin{array}{ll}P\left( {A’ \cap B’} \right) &= 1 – P\left( {A \cup B} \right) = 1 – P\left( A \right) – P\left( B \right) + P\left( {A \cap B} \right) \\&= 1 – P\left( A \right) – P\left( B \right) + P\left( A \right)P\left( B \right) \\&= \left( {1 – P\left( A \right)} \right) \cdot \left( {1 – P\left( B \right)} \right) = P\left( {A’} \right) \cdot P\left( {B’} \right)\end{array}\)

学习独立事件时,应该理解其与互斥事件的关连性。

首先,定义互斥事件,若两事件为互斥事件时,则 \(A\cap B=\varnothing\) ,
即 \(P(A\cap B)=P(\varnothing)=0\)。
因此,显而易见若两个非空事件 \(A\) 与 \(B\) 为互斥事件时,则事件 \(A\) 与 \(B\) 一定不是独立事件。

另一个重点是独立事件与期望值(Expected value,代号为 \(E\))的关係,若 \(X\) 与 \(Y\) 为两个事件,则其期望值具有线性关係,即 \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\),其中 \(a\) 与 \(b\) 为两个常数。但是,若 \(X\) 与 \(Y\) 彼此为独立事件时,除了线性关性外,还具有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\),
说明如下:
若 \(x_i\) 代表第一次掷骰子所出现的点数,\(y_i\) 代表第二次掷骰子所出现的点数,
所以,\({x_i},{y_i} \in \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\),若已知 \(x_i\) 与 \(y_i\) 为独立事件。

独立事件 (Indenpent Event)

\(\displaystyle\begin{array}{ll}E\left( {XY} \right) &= \sum {{x_i}{y_i}{p_i}}\\&=\frac{1}{{36}}(1 + 4 + 6 + 12 + 10 + 24 + 16 + 9 + 20 + 48 + 30 + 16 + 36 + 40 + 48 + 25 + 60 + 36)\\&=\frac{1}{36}\times 441 = \frac{49}{4}\end{array}\)

\(\displaystyle\begin{array}{ll}E\left( X \right)E(Y) &= (\sum\limits_{i = 1}^6 {{x_i}{p_i}} )(\sum\limits_{i = 1}^6 {{y_i}{p_i}} )\\&=\left( {1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}} \right) \cdot \left( {1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6}} \right)\\&= \frac{{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}}{6} \times \frac{{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}}{6}\\&=\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{49}{4}\end{array}\)

因此,若事件 \(X\) 与 \(Y\) 为独立事件时,则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\) 。

根据加拿大安大略所出版《资料管理中的数学(Mathematics of Data Management)》中提及一个有趣的问题:An airplane can make a safe landing if at least half of its engines are working properly. Suppose that engine failures are independent events. Determine whether a two-engine plane is safer than a four-engine plane if the chance that an engine fails is 1 in 2.

题意:一架飞机能够安全降落的前提是至少它的一半引擎是能够顺利运作的,假设每个引擎间的运作都是独立事件,如果每个引擎失败运作的机率为二分之一,请确定一架有两个引擎的飞机是比有四个引擎的飞机安全。

解法:设有二个引擎飞机安全降落机率为 \(A\),设有四个引擎飞机安全降落机率为 \(B\)。

\(P\left( A \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_1^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} = \frac{{12}}{{16}}\)

\(P\left( B \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} + C_3^4{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \cdot \frac{1}{2} + C_2^4{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{11}}{{16}}\),所以,\(P(A)>P(B)\)。

参考资料:

Papoulis, A. (1984), Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, New York: McGraw-Hill, p. pp. 139-152 .http://en.wikipedia.org/wiki/Independence_(probability_theory).
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